23년 세종영재학교 2차 기출문제풀이 22년7월10일시행

1번 문제 (세종 대구 대전 광주 공동출제)

1번 문제 해설

1. 편의상 숫자의 합이 나오는 확률을 경우의 수로 바꾸어 생각하자

숫자의합	2	3	4	5	6	7	8
확률	1/16	1/8	3/16	1/4	3/16	1/8	1/16
경우의수	1	2	3	4	3	2	1

두 주머니를 A,B라 하자
두 주머니에서 나오는 숫자의 합이 2인 경우는 (0,2) (1,1) 밖에 없다
같은 수가 여러장 나올수 있지만 합이 2인 경우가 한가지뿐이므로 0같은 수가 여러장 나타날수 없다.
(0이 여러장이면 (0,2) 와 같은 경우의수가 여러개 나와 확률이 1/16이 되질 않는다.)

같은 방법으로 가장 큰수의 합 8을 (4,4)로 만든다고 했을때 각 주머니에 4는 한장씩밖에 없게 된다.
가장 큰수와 작은 수를 기준으로 분류를 하자

1행에는 A주머니 2행에는 B주머니에 올수 있는 수를 쓰고 작은수부터 큰 수 순서로 나열한다.
앞에서 찾은 규칙으로 각 주머니에 가장 작은수와 가장큰수는 한장씩만 있음을 알 수 있다.

가장작은 수 (0,2) 가장큰수 (4,4)인경우

A	0			4
B	2			4

A	0			4
B	2	3	3	4

가운데 B주머니에 들어갈 수가 2334 가 된다.

A	0	2	2	4
B	2	3	3	4

이후 A주머니에 들어갈 수는 1~3사이의 수 어느정도는 일일히 찾아야한다

이후 가장작은 수조합은 (0,2)로 고정시키고 가장큰수의 조합을 (2,6),(3,5)로 바꾸어가며 중간에 들어갈수 있는 수를 찾아보았다. 가장 작은 수 (1,1)까지 체크하여 총 4가지 경우가 나타난다
여기에서는 계산과정을 생략했지만 숫자를 넣어가며 각 조합이 위 표의 1,2,3,4,3,2,1개가 나오는지 일일히 확인을 하였다.

A	0	1	1	2
B	2	4	4	6

A	0	1	2	3
B	2	3	4	5

A	1	2	2	3
B	1	3	3	5

2번문제 (대구 대전 세종 공동출제)

2번 문제 해설

(1)

(2) 도형 S가 직각삼각형이 되려면 한변이 지름이 되어야 하고 지름이 되려면 점들이 둘레를 따라 떨어진 거리가 2가 되어야 한다

그림에서 녹색으로 표시된 부분이 거리 2인점이다

(3) 원의 중심이 도형S 내부에 있게 하려면 삼각형ABC는 예각 삼각형 이어야 한다.

삼각형ABC는 둔각삼각형으로 부터 시작해서 9/7 초후에 AC가 지름인 직각삼각형이 되며 이후 11/5초에 BC가 지름인 직각삼각형일때까지 예각삼각형이다.

이후 41/7 초부터 6초까지 예각삼각형이다.

3번 문제 (인천 대구 세종 광주 공동출제)

2. 그림과 같이 1에서 6까지의 숫자가 적힌 6개의 전구와 A, B, C, D 4개의 버튼이 있는 장치가 있다

다음은 버튼과 전구의 연결 관계를 나타낸 표이다. 버튼을 누르면 연결된 전구 중 켜진 전구는 꺼지고, 꺼진 전구는 켜진다.

예를 들어, 버튼 A를 누르면 전구 1, 전구 2, 전구 3 중 켜진 전구는 꺼지고, 꺼진 전구는 켜지며 전구 4, 전구 5, 전구 6 은 변화가 없다. 다음물음에 답하시오. (단, 2개 이상의 버튼을 동시에 누르지 않는다)

(1) 모든 전구가 꺼진 상태에서 버튼 A, B, C, D를 한 번씩 눌렀을 때, 켜져 있는 전구를 빗금으로 색칠하시오.

(2) 그림과 같이 전구 3, 전구 5, 전구 6이 켜져 있을 때 모든 전구를 켜고자 한다. 버튼을 누르는 최소 횟수를 구하고, 그 이유를 설명하시오.

(3) 이 장치에 전원을 연결하면 각 전구가 임의로 켜지거나 꺼져있는 상태인 '처음 상태'가 주어진다. '처음 상태'에서 버튼을 눌러 모든 전구를 켜려고 한다. 장치에 전원을 연결했을 때, 모든 전구를 켜는 것이 가능한 '처음 상태'가 주어질 확률을 구하고, 그 이유를 설명하시오. (단, 버튼은 여러 번 누를 수 있다.)

3번 문제 해설

(1) 모든 전구를 색칠하면 된다.

(2) 1,2,4 번전구는 꺼져 있으므로 전구에 연결된 버튼을 홀수번 눌러야 하고 3,5,6번 전구는 켜져 있으므로 전구에 연결된 버튼을 짝수번 눌러야 한다. 1번 전구는 버튼 A와, 4번 전구는 버튼 B와, 6번 전구는 버튼 C로만 연결되어 있다는 것이 핵심이다.

최소 버튼 A, B는 한번 눌러야 1,4번 전구를 킬 수 있다. D를 한 번만 더 누르면 모든 전구를 켤 수 있으므로 최소의 횟수는 3이다.

(3) 1,4,6번 전구는 버튼 A, B, C에만 연결되어 있으므로 1,4,6번 전구를 먼저 생각한다면 1,4,6번 전구의 상태와 관계없이 전구를 모두 킬 수 있다. 1,4,6번 전구를 켜기 위해 A, B, C 버튼을 누른 이후에 버튼 D로만 전구 2,3,5번을 켤 수 있는 확률을 구하는 문제와 같아진다.

D버튼에는 2,3,5번이 모두 연결되어 있으므로 2번을 켜기 위해 버튼을 누른 이후 3번 5번 전구까지 켜져 있을 확률은 1/4이다.

4번 문제 (인천 대구 대전 세종 광주 공동출제)